Самый вероятный путь — от церковного имени Варрава, которое носил один из персонажей Нового Завета. Это имя семитское, восходит к арамейским основам «бар» (сын) и «абба» (Отец, Бог), так что в буквальном переводе оно означает «сын Отца», то есть «сын Божий». Фамилия Варава в таком случае — это графический, упрощённый вариант канонического старокалендарного имени Варрава, где двойное «р» со временем стянулось в одно.

Но есть и бытовая, прозвищная версия, которая уводит нас от библейских смыслов в сторону ремесла или характера. Она связывает фамилию с диалектным словом «варавина» — верёвка. Если следовать этой логике, Варавой могли прозвать человека, который занимался свиванием верёвок, то есть канатчика или бондаря. Однако прозвище могло быть и переносным: так называли слабохарактерного, бесхребетного человека, из которого, как говорится, «вили верёвки». Не исключено и чисто внешнее сходство — верёвка длинная и тонкая, поэтому прозвище могло закрепиться за очень высоким или худым человеком.

Какая из версий правдоподобнее? Имя Варрава встречается в святцах, и его переход в фамилию — дело обычное для русской ономастики, особенно если учесть, что двойные согласные в народном произношении часто упрощались. Прозвищная версия с верёвкой тоже имеет право на существование, но она опирается на довольно узкую диалектную лексику. В любом случае, потомок человека, которого звали Варава (по имени или по прозвищу), со временем получил фамилию, которая закрепилась за его родом.